> endobj 31 0 obj << /ProcSet [ /PDF /Text ] /Font << /TT1 45 0 R /TT2 54 0 R /TT4 53 0 R /TT5 35 0 R /TT6 33 0 R /TT8 42 0 R /TT9 39 0 R /TT11 63 0 R /TT13 61 0 R /TT15 62 0 R /TT16 70 0 R /TT17 81 0 R /TT18 86 0 R >> /XObject << /Fm1 91 0 R >> /ExtGState << /GS1 95 0 R >> /ColorSpace << /Cs5 60 0 R >> >> endobj 32 0 obj << /Filter /FlateDecode /Length 269 >> stream Si  (a, b) ∈ R 2 et  n ∈ N, alors :  /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [0 0.0 0 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [1 1 1] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /BBox [0 0 8 8] ]9t����BW]� ��8ED�2�]��6t�j�+t���5a�B׸�q��6� /FormType 1 ]� � Alcas dit : 17 avril 2016 à 17 h 57 min Je crois que vous avez écrit n au lieu de n-1 en haut du signe somme dans la vidéo de … x���P(�� �� 0000008792 00000 n Prenez par exemple n = 6 et additionnez les valeurs de la ligne : 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26. ]�[S��ܳ����6� x���]n,G�Pme�YW��g#��n_We�9��-)+�HU�M��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4ȏ������)�wT�ߠ+\�P�]EDDDDDDD!V+�UDDDDDDD�`0ee�]EDDDDDDDQV+�UDDDDDDD�`0k�]E�ۘ����eYD�}O=DD�V��W�|DD��y� �.�&"�n}��ѣHɓ�����3fL�=��լ������qѭ?�m�Ƹ�^;�ο��[J�5���Rg�F��ֻ5��g�r6i�M �:w83"3 �L�a��~����=�f3t������}��ƣ��!4l��BWM��ɑ���Yt���5]��wwt���������E>ޟp��2s�BW� << /S /GoTo /D (Outline0.1) >> stream /FormType 1 Euh… concrètement ? 0000014920 00000 n /Subtype /Form 0000062497 00000 n 46 0 obj << 0000052874 00000 n /BBox [0 0 100 100] 25 0 obj /FormType 1 ]��h�1P�ϖQ��B�Fzse��+t��]l0�V�F�]�+t�t��@BGAW� 0000002962 00000 n qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx) et un entier naturel n, alors. Combinaison Binˆome de Newton Aim´e Lachal. 0000009208 00000 n ]��N���&e�������>���u����е�q0� /Filter /FlateDecode >> /Subtype /Form << stream �*=R�[�AO��е#��=��ѠBW� >> /BBox [0 0 100 100] 31 0 obj ]��Q�"����uϰAW� /Subtype /Form On y va décidément pas à pas. (Formule du bin\364me) 0000001828 00000 n /Resources 13 0 R >> (IT) Identités combinatoires (la difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable). 0000069112 00000 n /Length 15 ]�+t�� << /S /GoTo /D (Outline0.5) >> endobj 1) Calculer n 0 + n 1 +...+ n n . 59 0 obj /Resources 23 0 R Notamment, on démontre grâce à lui que la fameuse suite un = (1 + 1 / n)ⁿ ayant e pour limite  est croissante (voir par exemple « Mathématiques pour l’économie Â» (Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca), Dunod 2007 p 75). 0000065056 00000 n /Length 15 Nous avons (e2ix + e-2ix) qui est égal à 2 cos 2x et (e4ix + e-4ix) qui est égal à 2 cos 4x. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Type /XObject ]u�$h�f)S ]t��е#��sW� La formule est évidemment celle du binôme mais généralement on ne retient pas toutes les possibilités de 0 à n et, du coup, on ne développe pas (a + b)ⁿ. endobj 0000059164 00000 n 0000063352 00000 n >> 50 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 38 0 obj /Length 15 En simplifiant par 2, nous arrivons au bout de nos peines . << /S /GoTo /D (Outline0.3) >> endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000003305 00000 n >> /ProcSet [ /PDF ] On obtient : Il faut enjoliver cette espèce de magma inesthétique qui est multiplié par 4. 15 0 obj Théorème (formule du binôme de Newton) : Soit (a;b) 2R2 et n 2N. On a (a+b)n = Xn k=0 n k akbn k. Démonstration : 1. initialisation : Pour n = 0, on a : (a+b)0 = 1 et X0 k=0 0 k akbn k = 0 0 a0b0 0 = 1. endobj 0000065731 00000 n endstream /Resources 17 0 R {����aؠ+t��Z��Q���$� /Resources 29 0 R 5 réflexions sur “ Exercices sur le binôme de Newton ” Aline dit : 22 octobre 2015 à 21 h 24 min Comment te dire cela simplement… : Tu es tout simplement génial merci merci merci :)!!! (Factorielle) << /FormType 1 /FormType 1 >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [8.00009 8.00009 0.0 8.00009 8.00009 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> n Ck= n! Vous avez tous appris aucolì ege les fameuses "identités remarquables" (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ou (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , et il est essentiel de savoir ces formules par coeur, ´ etant donné la multitude de cas o` u on /Filter /FlateDecode /Subtype /Form /Subtype /Form endobj x���P(�� �� "n#$,(a+b)n= n Ck k=0 n %a kbn& Notations : ! endobj 0000027084 00000 n endobj << stream >> endstream >> 0000068271 00000 n endobj �iȂ�Z�vp{ x���P(�� �� Regroupons les puissances 4. stream (Application aux probabilit\351s) /ProcSet [ /PDF ] /Width 1831  Formule du binôme de Newton. endstream On a donc comme coefficient de ce terme : ˙ ˝ ˛ ˆ ˙ /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 23.12529 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> /ColorSpace /DeviceRGB Développons (a â€“ b)5, à titre d’exemple. >> << endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] << /Matrix [1 0 0 1 0 0] /BBox [0 0 100 100] /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Resources 11 0 R On a de façon générale : Le coefficient de est donc ˘ˇ ˆˆ On a de façon générale : ˙ Le terme s’obtient quand ˝. 2. hérédité : On suppose que pour un rang n 2N quelconque, la formule est vraie. On voit que l’on peut factoriser ceci par eixe-ix c’est-à-dire, ici encore, par 1. 0000059653 00000 n Si l’on met (½)⁴ en facteur, il nous reste à développer l’expression à la puissance 4 en utilisant la formule du binôme de Newton. /Matrix [1 0 0 1 0 0] Par commodité, rappelons ici un extrait de ce fameux triangle. 11 0 obj 14 0 obj /FormType 1 /Type /XObject << x���P(�� �� 2. 0000054167 00000 n << 0000079784 00000 n Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). /Subtype /Form 0000014743 00000 n /ProcSet [ /PDF ] 12 0 obj /Length 15 Enfin, nous constatons que b est négatif. �.�����@&! stream /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que ! stream /Length 15 endobj Répondre. 0000058142 00000 n �ҞU����RE��q���j��.��.ʂ��;�,�;,�}�L�.m�x��d��CIci=��K0%$��Rs�%��9N�f瀥s\r6j�Mvf�Y2+��p�݂A�F�X�Y�/�(����ͧ�n�����\F�6�ю���`ep���{����f�y��N�Gutq�{m����ӵ 竓,]������j�k��p�-�����ɽ)H���5=�~2�d�1J�sm�W>�4�a��4�+4 �hF�O;�h"�>tf�8>���.�M�Iükim��ۋz����4�-a���x���2���X��o>�N ����%��M?����n�U���ި8s�> H�\Q�j�0��+����lՉ]0��R0!mh��im�,d�࿯Vv�A�h���;�/���� �Zm��q��D�a� d��~�E�}c����. /Subtype /Form H�b```f``�f`g`�~� Ȁ �@1v�6 go���w�L6eR ��E6� ��2=?�Xy�U|:',l�3��jtޭ߬�X��Y/����X-�jʼ#�|,AJ*�L��W��Xt�i�B���d�v)��K�O�kI��+ntu�צ�b�^�P��*�o4���� /Resources 15 0 R 37 0 obj 0000072639 00000 n << 62 0 obj 0000073740 00000 n n=0 k! 0000079947 00000 n x���P(�� �� >> ]����:����BW]�+t�D�_����Bך�zq۾w���A�u���9l��BW=bڧ���n�c]�+t}�7��t����~�=עk���a�a��AW� endstream 60 0 obj /Length 15 endstream /Type /XObject /Type /XObject 0000061626 00000 n trailer << /Size 102 /Info 27 0 R /Root 29 0 R /Prev 119898 /ID[<55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289><55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289>] >> startxref 0 %%EOF 29 0 obj << /Type /Catalog /Pages 26 0 R >> endobj 100 0 obj << /S 387 /Filter /FlateDecode /Length 101 0 R >> stream 0000009007 00000 n DØnombrement, binôme de Newton 1. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 32 0 obj >> << (Combinaison) Nous voyons également que les coefficients multiplicateurs sont les nombres relevés sur la ligne n = 5 du triangle de Pascal, c’est-à-dire 1-5-10-10-5-1. /Resources 26 0 R /BBox [0 0 100 100] Mais maintenant que le binôme nous a montré ses bienfaits, nous pouvons réduire un peu l’expression…. !��_�szf6g���Ȓ��'˲�sP�Y��D���5 /ProcSet [ /PDF ] endobj >> 26 0 obj On le vérifie également sur ce triangle décidément magique. ]���o������6i�`g��)��9t�Yj誠��P�]m1屮��Gׅ ]��t��o�]k~ӰAW� endobj stream endobj /Filter /FlateDecode endobj endobj << D’abord, chaque membre de l’addition se situe à un degré de puissance 5. ]s����EW�]�+t�,��k�L8tU��B�.��r�@W� 49 0 obj Les basiques 1. Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même.L'un des buts du jeu est de développer l’identité remarquable (a + b)ⁿ.Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). ]�k�U /Length 15 66 0 obj >> 0000071387 00000 n /Filter /FlateDecode stream 10 0 obj 0000027387 00000 n /ProcSet [ /PDF ] �� ��3!��{x�pa���RA ��Hh������K��=�(a�M��d�A�Xi{%�f1��7S�AÃ�Oqh#���^�jc*��y�����'�@��x�����ȡI‡�,���`��CZN������]}���$"d?z�8&���bOl��&��L`����$�`��C�ż@�d��R*��b��=�\2����m���%��^@^� Un sch´ema de Bernoulli est une r´ep ´etition d’ ´epreuves de /Filter /FlateDecode /Resources 60 0 R x���P(�� �� Notamment, si l’on applique une règle algébrique très basique des exponentielles (et des puissances en général), on remarque que (eix)²(e-ix)² peut s’écrire e2ix Ã— e-2ix, soit e0, soit 1. → ! /BBox [0 0 16 16] >> endstream /Type /XObject stream /Length 15 0000059855 00000 n 0000062476 00000 n Combinaison Une ´epreuve de Bernoulli est une exp´erience al ´eatoire `a deux issues possibles (par exemple « succ`es » et « ´echec »). x���P(�� �� Nous trouvons donc le signe « moins Â» sur les puissances impaires de b. Intéressons-nous à présent à un cas particulier de a et de b. Si a = b = 1, la formule du binôme devient tout simplement… l’expression des puissances de 2 (puisque les coefficients ne multiplient que des 1). 0000014328 00000 n ]�kt ݶG�!tͿ��fؠ+t��ڄ�Nהy���c]�+t}���е�4BW�Zmޚ:X��]7t���U�0��i�2��U��+t��G�擩����BW�:] t���U�0���2��UAW� /Matrix [1 0 0 1 0 0] >> Soit n ∈ N et Pn (x)=(x+1) n −(x−1)n.Quel est le degrØ de P n, quel est son coefficient dominant? /FormType 1 /Filter /FlateDecode /BitsPerComponent 8 << 0000030021 00000 n << /S /GoTo /D (Outline0.4) >> /Subtype /Image 45 0 obj 0000009804 00000 n 0 Ckab0"k= 0 0a0b0=1 k=0 0 # … /BBox [0 0 100 100] endobj << 0000002418 00000 n ]ǣk�'�B7x� d�7��lF��ۧ�nM�R�]�+tU�U�2�bO����B׃vvBW� << /ProcSet [ /PDF ] �BW�����멭]��Tt�߶�5]��{��BW誠�>j�2��UAW� /Filter /FlateDecode endobj /Type /XObject << /S /GoTo /D [55 0 R /Fit] >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000029819 00000 n /Length 15 ]�kt=�Գ�-��t���Uw�&�2����aW� 41 0 obj /BBox [0 0 100 100] 34 0 obj La loi binomiale : avec un nom pareil, on se doute bien qu’il y a un petit air de famille… Voici un autre cas particulier des paramètres a et b. Il s’agit cette fois-ci de deux probabilités complémentaires (leur somme est égale à 1). 0000053286 00000 n 0000064206 00000 n >> 0000029615 00000 n /Length 744 /Type /XObject Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même. /ProcSet [ /PDF ] 0000008427 00000 n /Type /XObject 17 0 obj /Filter /FlateDecode endobj endobj endobj /BBox [0 0 100 100] /Filter /FlateDecode stream /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 20.00024 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> endobj /ProcSet [ /PDF ] k!(n"k)! /Height 413 ]�>��[M�G����E״m[��z��L��k���BW�;�@uV�W;KAW� %PDF-1.5 0000003708 00000 n 0000072309 00000 n << 61 0 obj %���� >> 0000053054 00000 n << << /S /GoTo /D (Outline0.2) >> EnoncØ des exercices 1.1. 2. /ProcSet [ /PDF ] 53 0 obj stream /Group 58 0 R Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices, etc.) /Resources 32 0 R 0000002440 00000 n 0000073874 00000 n << Certes, la ligne est un peu longue. 54 0 obj 42 0 obj g�����Rjh��0~����v�Guڿ����5�_(Rr�W�R3�}�i���AR*��y�P����9��̛�u�wל�mZ��F�� 0000036528 00000 n /Subtype /Form /Length 14899 0000049507 00000 n 0000065526 00000 n /Subtype /Form 29 0 obj … Posons S 1 =å E(n=2) k=0 /ProcSet [ /PDF ] >> stream >> >> << 57 0 obj Voir aussi la démonstration de la page additivité de la loi de Poisson. << 0000071183 00000 n ]�����S�`CW屮���D�S���6����ٶ��n6� 0000063373 00000 n << 0000059474 00000 n /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0 1] /Coords [4.00005 4.00005 0.0 4.00005 4.00005 4.00005] /Function << /FunctionType 2 /Domain [0 1] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> /Extend [true false] >> >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 22.50027 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> x���P(�� �� >> Par exemple, si l’on ne recense que les possibilités d’obtenir 3 succès sur 10 tirages et que la probabilité de succès est égale à 0,4, la formule n’est pas une somme puisque k est égal à 3 et le résultat ne sera qu’un « extrait Â» de la forme développée plus haut, soit 120 Ã— (0,4)³ Ã— (0,6)7. Énoncé. /Resources 62 0 R … /SMask 73 0 R /Filter /FlateDecode ]��1��;e��-t��е/��E� ]�뭩����B׻�Zd t���U_ЁVj�2��������;����w�]�� t��m����Zg t���UkЁ>j�2�6�����C�8����fڑ? /Filter /FlateDecode x���P(�� �� /Length 15 0000069268 00000 n ]K��Hk������a�#�+tu�p�df`^��IqW��lCW� Vous pouvez développer le produit, mais vous allez avoir beaucoup de mal. Formule du binôme de Newton - Correction Exercice 1 1) Quel est le coefficient de dans le développement de puis de ? 0000002647 00000 n 28 0 obj 0000054570 00000 n 0000061605 00000 n x���P(�� �� /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000053795 00000 n endstream ]��!h��)c]��BW���NB�[]�kt�޶��.6� /Filter /FlateDecode 0000035733 00000 n endobj 0000006398 00000 n Selon une formule d’Euler…. >> x��VYk1~�_���������R endobj Le binôme de Newton * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice no 1. endobj 0000009411 00000 n endobj Dans la mesure où le triangle de Pascal se construit par récurrence, le binôme ne peut être totalement insensible aux joies des suites…. /Matrix [1 0 0 1 0 0] 28 0 obj << /Linearized 1 /O 30 /H [ 1883 557 ] /L 120586 /E 80411 /N 4 /T 119908 >> endobj xref 28 74 0000000016 00000 n endobj /Subtype /Form >> /FormType 1 HR n (hypothèse de récurrence) ! 0000072618 00000 n Par ailleurs, factorisons par 4 dans les deuxième et quatrième termes. 63 0 obj (Applications trigonom\351triques) 0000003505 00000 n Le premier montre le a à pleine puissance tandis que b est absent, le deuxième ne multiplie a que 4 fois par lui-même alors que b fait son apparition et ainsi de suite jusqu’à élever b à la puissance 5. 0000068250 00000 n >> endstream Binˆome de Newton Aim´e Lachal. endobj /FormType 1 0000043643 00000 n stream << << endobj 23 0 obj /ProcSet [ /PDF ] Appliquons à nouveau la formule d’Euler. %PDF-1.2 %���� x���P(�� �� 0000073398 00000 n endobj Pour faire disparaître les puissances d’une expression trigonométrique, il faut utiliser les nombres complexes et plus précisément leur forme polaire. 0000073662 00000 n 0000037238 00000 n Heureusement, la formule du binôme de Newton permet d'obtenir facilement l'expression finale. ]�+��Wn}� �BW� �&j�2��UAW� ]t�A�T��*v����BW� Correction del’exercice1 N 1.D’après la formule du binôme de NEWTON, 8n 2N; å n k=0 =(1+1) =2 : 2.Soit n un entier naturel non nul. Plantronics Explorer 80 Test, Stage Psychologie Du Travail Paris, Camilo Ol Transfermarkt, Fiche De Reprise D'études Exemple, Frais D'inscription Rennes 2, Mère De Jalil Lespert, Milady De Winter Fleur De Lys, Ac Lyon Résultat, " /> > endobj 31 0 obj << /ProcSet [ /PDF /Text ] /Font << /TT1 45 0 R /TT2 54 0 R /TT4 53 0 R /TT5 35 0 R /TT6 33 0 R /TT8 42 0 R /TT9 39 0 R /TT11 63 0 R /TT13 61 0 R /TT15 62 0 R /TT16 70 0 R /TT17 81 0 R /TT18 86 0 R >> /XObject << /Fm1 91 0 R >> /ExtGState << /GS1 95 0 R >> /ColorSpace << /Cs5 60 0 R >> >> endobj 32 0 obj << /Filter /FlateDecode /Length 269 >> stream Si  (a, b) ∈ R 2 et  n ∈ N, alors :  /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [0 0.0 0 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [1 1 1] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /BBox [0 0 8 8] ]9t����BW]� ��8ED�2�]��6t�j�+t���5a�B׸�q��6� /FormType 1 ]� � Alcas dit : 17 avril 2016 à 17 h 57 min Je crois que vous avez écrit n au lieu de n-1 en haut du signe somme dans la vidéo de … x���P(�� �� 0000008792 00000 n Prenez par exemple n = 6 et additionnez les valeurs de la ligne : 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26. ]�[S��ܳ����6� x���]n,G�Pme�YW��g#��n_We�9��-)+�HU�M��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4ȏ������)�wT�ߠ+\�P�]EDDDDDDD!V+�UDDDDDDD�`0ee�]EDDDDDDDQV+�UDDDDDDD�`0k�]E�ۘ����eYD�}O=DD�V��W�|DD��y� �.�&"�n}��ѣHɓ�����3fL�=��լ������qѭ?�m�Ƹ�^;�ο��[J�5���Rg�F��ֻ5��g�r6i�M �:w83"3 �L�a��~����=�f3t������}��ƣ��!4l��BWM��ɑ���Yt���5]��wwt���������E>ޟp��2s�BW� << /S /GoTo /D (Outline0.1) >> stream /FormType 1 Euh… concrètement ? 0000014920 00000 n /Subtype /Form 0000062497 00000 n 46 0 obj << 0000052874 00000 n /BBox [0 0 100 100] 25 0 obj /FormType 1 ]��h�1P�ϖQ��B�Fzse��+t��]l0�V�F�]�+t�t��@BGAW� 0000002962 00000 n qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx) et un entier naturel n, alors. Combinaison Binˆome de Newton Aim´e Lachal. 0000009208 00000 n ]��N���&e�������>���u����е�q0� /Filter /FlateDecode >> /Subtype /Form << stream �*=R�[�AO��е#��=��ѠBW� >> /BBox [0 0 100 100] 31 0 obj ]��Q�"����uϰAW� /Subtype /Form On y va décidément pas à pas. (Formule du bin\364me) 0000001828 00000 n /Resources 13 0 R >> (IT) Identités combinatoires (la difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable). 0000069112 00000 n /Length 15 ]�+t�� << /S /GoTo /D (Outline0.5) >> endobj 1) Calculer n 0 + n 1 +...+ n n . 59 0 obj /Resources 23 0 R Notamment, on démontre grâce à lui que la fameuse suite un = (1 + 1 / n)ⁿ ayant e pour limite  est croissante (voir par exemple « Mathématiques pour l’économie Â» (Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca), Dunod 2007 p 75). 0000065056 00000 n /Length 15 Nous avons (e2ix + e-2ix) qui est égal à 2 cos 2x et (e4ix + e-4ix) qui est égal à 2 cos 4x. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Type /XObject ]u�$h�f)S ]t��е#��sW� La formule est évidemment celle du binôme mais généralement on ne retient pas toutes les possibilités de 0 à n et, du coup, on ne développe pas (a + b)ⁿ. endobj 0000059164 00000 n 0000063352 00000 n >> 50 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 38 0 obj /Length 15 En simplifiant par 2, nous arrivons au bout de nos peines . << /S /GoTo /D (Outline0.3) >> endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000003305 00000 n >> /ProcSet [ /PDF ] On obtient : Il faut enjoliver cette espèce de magma inesthétique qui est multiplié par 4. 15 0 obj Théorème (formule du binôme de Newton) : Soit (a;b) 2R2 et n 2N. On a (a+b)n = Xn k=0 n k akbn k. Démonstration : 1. initialisation : Pour n = 0, on a : (a+b)0 = 1 et X0 k=0 0 k akbn k = 0 0 a0b0 0 = 1. endobj 0000065731 00000 n endstream /Resources 17 0 R {����aؠ+t��Z��Q���$� /Resources 29 0 R 5 réflexions sur “ Exercices sur le binôme de Newton ” Aline dit : 22 octobre 2015 à 21 h 24 min Comment te dire cela simplement… : Tu es tout simplement génial merci merci merci :)!!! (Factorielle) << /FormType 1 /FormType 1 >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [8.00009 8.00009 0.0 8.00009 8.00009 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> n Ck= n! Vous avez tous appris aucolì ege les fameuses "identités remarquables" (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ou (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , et il est essentiel de savoir ces formules par coeur, ´ etant donné la multitude de cas o` u on /Filter /FlateDecode /Subtype /Form /Subtype /Form endobj x���P(�� �� "n#$,(a+b)n= n Ck k=0 n %a kbn& Notations : ! endobj 0000027084 00000 n endobj << stream >> endstream >> 0000068271 00000 n endobj �iȂ�Z�vp{ x���P(�� �� Regroupons les puissances 4. stream (Application aux probabilit\351s) /ProcSet [ /PDF ] /Width 1831  Formule du binôme de Newton. endstream On a donc comme coefficient de ce terme : ˙ ˝ ˛ ˆ ˙ /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 23.12529 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> /ColorSpace /DeviceRGB Développons (a â€“ b)5, à titre d’exemple. >> << endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] << /Matrix [1 0 0 1 0 0] /BBox [0 0 100 100] /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Resources 11 0 R On a de façon générale : Le coefficient de est donc ˘ˇ ˆˆ On a de façon générale : ˙ Le terme s’obtient quand ˝. 2. hérédité : On suppose que pour un rang n 2N quelconque, la formule est vraie. On voit que l’on peut factoriser ceci par eixe-ix c’est-à-dire, ici encore, par 1. 0000059653 00000 n Si l’on met (½)⁴ en facteur, il nous reste à développer l’expression à la puissance 4 en utilisant la formule du binôme de Newton. /Matrix [1 0 0 1 0 0] Par commodité, rappelons ici un extrait de ce fameux triangle. 11 0 obj 14 0 obj /FormType 1 /Type /XObject << x���P(�� �� 2. 0000054167 00000 n << 0000079784 00000 n Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). /Subtype /Form 0000014743 00000 n /ProcSet [ /PDF ] 12 0 obj /Length 15 Enfin, nous constatons que b est négatif. �.�����@&! stream /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que ! stream /Length 15 endobj Répondre. 0000058142 00000 n �ҞU����RE��q���j��.��.ʂ��;�,�;,�}�L�.m�x��d��CIci=��K0%$��Rs�%��9N�f瀥s\r6j�Mvf�Y2+��p�݂A�F�X�Y�/�(����ͧ�n�����\F�6�ю���`ep���{����f�y��N�Gutq�{m����ӵ 竓,]������j�k��p�-�����ɽ)H���5=�~2�d�1J�sm�W>�4�a��4�+4 �hF�O;�h"�>tf�8>���.�M�Iükim��ۋz����4�-a���x���2���X��o>�N ����%��M?����n�U���ި8s�> H�\Q�j�0��+����lՉ]0��R0!mh��im�,d�࿯Vv�A�h���;�/���� �Zm��q��D�a� d��~�E�}c����. /Subtype /Form H�b```f``�f`g`�~� Ȁ �@1v�6 go���w�L6eR ��E6� ��2=?�Xy�U|:',l�3��jtޭ߬�X��Y/����X-�jʼ#�|,AJ*�L��W��Xt�i�B���d�v)��K�O�kI��+ntu�צ�b�^�P��*�o4���� /Resources 15 0 R 37 0 obj 0000072639 00000 n << 62 0 obj 0000073740 00000 n n=0 k! 0000079947 00000 n x���P(�� �� >> ]����:����BW]�+t�D�_����Bך�zq۾w���A�u���9l��BW=bڧ���n�c]�+t}�7��t����~�=עk���a�a��AW� endstream 60 0 obj /Length 15 endstream /Type /XObject /Type /XObject 0000061626 00000 n trailer << /Size 102 /Info 27 0 R /Root 29 0 R /Prev 119898 /ID[<55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289><55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289>] >> startxref 0 %%EOF 29 0 obj << /Type /Catalog /Pages 26 0 R >> endobj 100 0 obj << /S 387 /Filter /FlateDecode /Length 101 0 R >> stream 0000009007 00000 n DØnombrement, binôme de Newton 1. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 32 0 obj >> << (Combinaison) Nous voyons également que les coefficients multiplicateurs sont les nombres relevés sur la ligne n = 5 du triangle de Pascal, c’est-à-dire 1-5-10-10-5-1. /Resources 26 0 R /BBox [0 0 100 100] Mais maintenant que le binôme nous a montré ses bienfaits, nous pouvons réduire un peu l’expression…. !��_�szf6g���Ȓ��'˲�sP�Y��D���5 /ProcSet [ /PDF ] endobj >> 26 0 obj On le vérifie également sur ce triangle décidément magique. ]���o������6i�`g��)��9t�Yj誠��P�]m1屮��Gׅ ]��t��o�]k~ӰAW� endobj stream endobj /Filter /FlateDecode endobj endobj << D’abord, chaque membre de l’addition se situe à un degré de puissance 5. ]s����EW�]�+t�,��k�L8tU��B�.��r�@W� 49 0 obj Les basiques 1. Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même.L'un des buts du jeu est de développer l’identité remarquable (a + b)ⁿ.Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). ]�k�U /Length 15 66 0 obj >> 0000071387 00000 n /Filter /FlateDecode stream 10 0 obj 0000027387 00000 n /ProcSet [ /PDF ] �� ��3!��{x�pa���RA ��Hh������K��=�(a�M��d�A�Xi{%�f1��7S�AÃ�Oqh#���^�jc*��y�����'�@��x�����ȡI‡�,���`��CZN������]}���$"d?z�8&���bOl��&��L`����$�`��C�ż@�d��R*��b��=�\2����m���%��^@^� Un sch´ema de Bernoulli est une r´ep ´etition d’ ´epreuves de /Filter /FlateDecode /Resources 60 0 R x���P(�� �� Notamment, si l’on applique une règle algébrique très basique des exponentielles (et des puissances en général), on remarque que (eix)²(e-ix)² peut s’écrire e2ix Ã— e-2ix, soit e0, soit 1. → ! /BBox [0 0 16 16] >> endstream /Type /XObject stream /Length 15 0000059855 00000 n 0000062476 00000 n Combinaison Une ´epreuve de Bernoulli est une exp´erience al ´eatoire `a deux issues possibles (par exemple « succ`es » et « ´echec »). x���P(�� �� Nous trouvons donc le signe « moins Â» sur les puissances impaires de b. Intéressons-nous à présent à un cas particulier de a et de b. Si a = b = 1, la formule du binôme devient tout simplement… l’expression des puissances de 2 (puisque les coefficients ne multiplient que des 1). 0000014328 00000 n ]�kt ݶG�!tͿ��fؠ+t��ڄ�Nהy���c]�+t}���е�4BW�Zmޚ:X��]7t���U�0��i�2��U��+t��G�擩����BW�:] t���U�0���2��UAW� /Matrix [1 0 0 1 0 0] >> Soit n ∈ N et Pn (x)=(x+1) n −(x−1)n.Quel est le degrØ de P n, quel est son coefficient dominant? /FormType 1 /Filter /FlateDecode /BitsPerComponent 8 << 0000030021 00000 n << /S /GoTo /D (Outline0.4) >> /Subtype /Image 45 0 obj 0000009804 00000 n 0 Ckab0"k= 0 0a0b0=1 k=0 0 # … /BBox [0 0 100 100] endobj << 0000002418 00000 n ]ǣk�'�B7x� d�7��lF��ۧ�nM�R�]�+tU�U�2�bO����B׃vvBW� << /ProcSet [ /PDF ] �BW�����멭]��Tt�߶�5]��{��BW誠�>j�2��UAW� /Filter /FlateDecode endobj /Type /XObject << /S /GoTo /D [55 0 R /Fit] >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000029819 00000 n /Length 15 ]�kt=�Գ�-��t���Uw�&�2����aW� 41 0 obj /BBox [0 0 100 100] 34 0 obj La loi binomiale : avec un nom pareil, on se doute bien qu’il y a un petit air de famille… Voici un autre cas particulier des paramètres a et b. Il s’agit cette fois-ci de deux probabilités complémentaires (leur somme est égale à 1). 0000053286 00000 n 0000064206 00000 n >> 0000029615 00000 n /Length 744 /Type /XObject Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même. /ProcSet [ /PDF ] 0000008427 00000 n /Type /XObject 17 0 obj /Filter /FlateDecode endobj endobj endobj /BBox [0 0 100 100] /Filter /FlateDecode stream /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 20.00024 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> endobj /ProcSet [ /PDF ] k!(n"k)! /Height 413 ]�>��[M�G����E״m[��z��L��k���BW�;�@uV�W;KAW� %PDF-1.5 0000003708 00000 n 0000072309 00000 n << 61 0 obj %���� >> 0000053054 00000 n << << /S /GoTo /D (Outline0.2) >> EnoncØ des exercices 1.1. 2. /ProcSet [ /PDF ] 53 0 obj stream /Group 58 0 R Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices, etc.) /Resources 32 0 R 0000002440 00000 n 0000073874 00000 n << Certes, la ligne est un peu longue. 54 0 obj 42 0 obj g�����Rjh��0~����v�Guڿ����5�_(Rr�W�R3�}�i���AR*��y�P����9��̛�u�wל�mZ��F�� 0000036528 00000 n /Subtype /Form /Length 14899 0000049507 00000 n 0000065526 00000 n /Subtype /Form 29 0 obj … Posons S 1 =å E(n=2) k=0 /ProcSet [ /PDF ] >> stream >> >> << 57 0 obj Voir aussi la démonstration de la page additivité de la loi de Poisson. << 0000071183 00000 n ]�����S�`CW屮���D�S���6����ٶ��n6� 0000063373 00000 n << 0000059474 00000 n /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0 1] /Coords [4.00005 4.00005 0.0 4.00005 4.00005 4.00005] /Function << /FunctionType 2 /Domain [0 1] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> /Extend [true false] >> >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 22.50027 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> x���P(�� �� >> Par exemple, si l’on ne recense que les possibilités d’obtenir 3 succès sur 10 tirages et que la probabilité de succès est égale à 0,4, la formule n’est pas une somme puisque k est égal à 3 et le résultat ne sera qu’un « extrait Â» de la forme développée plus haut, soit 120 Ã— (0,4)³ Ã— (0,6)7. Énoncé. /Resources 62 0 R … /SMask 73 0 R /Filter /FlateDecode ]��1��;e��-t��е/��E� ]�뭩����B׻�Zd t���U_ЁVj�2��������;����w�]�� t��m����Zg t���UkЁ>j�2�6�����C�8����fڑ? /Filter /FlateDecode x���P(�� �� /Length 15 0000069268 00000 n ]K��Hk������a�#�+tu�p�df`^��IqW��lCW� Vous pouvez développer le produit, mais vous allez avoir beaucoup de mal. Formule du binôme de Newton - Correction Exercice 1 1) Quel est le coefficient de dans le développement de puis de ? 0000002647 00000 n 28 0 obj 0000054570 00000 n 0000061605 00000 n x���P(�� �� /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000053795 00000 n endstream ]��!h��)c]��BW���NB�[]�kt�޶��.6� /Filter /FlateDecode 0000035733 00000 n endobj 0000006398 00000 n Selon une formule d’Euler…. >> x��VYk1~�_���������R endobj Le binôme de Newton * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice no 1. endobj 0000009411 00000 n endobj Dans la mesure où le triangle de Pascal se construit par récurrence, le binôme ne peut être totalement insensible aux joies des suites…. /Matrix [1 0 0 1 0 0] 28 0 obj << /Linearized 1 /O 30 /H [ 1883 557 ] /L 120586 /E 80411 /N 4 /T 119908 >> endobj xref 28 74 0000000016 00000 n endobj /Subtype /Form >> /FormType 1 HR n (hypothèse de récurrence) ! 0000072618 00000 n Par ailleurs, factorisons par 4 dans les deuxième et quatrième termes. 63 0 obj (Applications trigonom\351triques) 0000003505 00000 n Le premier montre le a à pleine puissance tandis que b est absent, le deuxième ne multiplie a que 4 fois par lui-même alors que b fait son apparition et ainsi de suite jusqu’à élever b à la puissance 5. 0000068250 00000 n >> endstream Binˆome de Newton Aim´e Lachal. endobj /FormType 1 0000043643 00000 n stream << << endobj 23 0 obj /ProcSet [ /PDF ] Appliquons à nouveau la formule d’Euler. %PDF-1.2 %���� x���P(�� �� 0000073398 00000 n endobj Pour faire disparaître les puissances d’une expression trigonométrique, il faut utiliser les nombres complexes et plus précisément leur forme polaire. 0000073662 00000 n 0000037238 00000 n Heureusement, la formule du binôme de Newton permet d'obtenir facilement l'expression finale. ]�+��Wn}� �BW� �&j�2��UAW� ]t�A�T��*v����BW� Correction del’exercice1 N 1.D’après la formule du binôme de NEWTON, 8n 2N; å n k=0 =(1+1) =2 : 2.Soit n un entier naturel non nul. 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binôme de newton pdf

]a5t�6���vA׸m{����I���za-���ECW� 2. 22 0 obj /Filter /FlateDecode /BBox [0 0 5669.291 8] /Subtype /Form 0000071408 00000 n >> endstream ]5&��(�%�. << /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> endobj L'un des buts du jeu est de développer l’identité remarquable (a + b)ⁿ. 0000064227 00000 n /Type /XObject /Type /XObject 16 0 obj /FormType 1 Applications du binôme de Newton. /Length 15 0000058163 00000 n 0000054369 00000 n /Type /XObject /Type /XObject 0000043846 00000 n 0000052669 00000 n 0000003957 00000 n 13 0 obj endobj endstream /FormType 1 endobj 0000001883 00000 n /Resources 64 0 R endobj (a+b)n= n Ck k=0 n "a kbn# sera noté ! 64 0 obj /Parent 72 0 R << Le binôme de Newton est une formule de mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. 0000035936 00000 n endstream endobj /BBox [0 0 100 100] LtX�����Ro ���D��`�������r�ub����� ��d0�,(����с�GLJƦ��� ؤ�����M\�Ұ�`TR6 � Q �b`�|H�qXD����PB@�f�|N��7Xxt��^�,Hj��w��"�ۙ�&o�m��:�Ϡ;��P��A��e��t���00|eTd��������B��S���Q``6a�)K�=��{@�G�g�'Ȅ32Y9t341�p%�:l ���8��v��F����; y � �1� endstream endobj 101 0 obj 448 endobj 30 0 obj << /Type /Page /Parent 26 0 R /Resources 31 0 R /Contents [ 68 0 R 74 0 R 76 0 R 78 0 R 80 0 R 85 0 R 90 0 R 93 0 R ] /MediaBox [ 0 0 595 842 ] /CropBox [ 0 0 595 842 ] /Rotate 0 >> endobj 31 0 obj << /ProcSet [ /PDF /Text ] /Font << /TT1 45 0 R /TT2 54 0 R /TT4 53 0 R /TT5 35 0 R /TT6 33 0 R /TT8 42 0 R /TT9 39 0 R /TT11 63 0 R /TT13 61 0 R /TT15 62 0 R /TT16 70 0 R /TT17 81 0 R /TT18 86 0 R >> /XObject << /Fm1 91 0 R >> /ExtGState << /GS1 95 0 R >> /ColorSpace << /Cs5 60 0 R >> >> endobj 32 0 obj << /Filter /FlateDecode /Length 269 >> stream Si  (a, b) ∈ R 2 et  n ∈ N, alors :  /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [0 0.0 0 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [1 1 1] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /BBox [0 0 8 8] ]9t����BW]� ��8ED�2�]��6t�j�+t���5a�B׸�q��6� /FormType 1 ]� � Alcas dit : 17 avril 2016 à 17 h 57 min Je crois que vous avez écrit n au lieu de n-1 en haut du signe somme dans la vidéo de … x���P(�� �� 0000008792 00000 n Prenez par exemple n = 6 et additionnez les valeurs de la ligne : 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26. ]�[S��ܳ����6� x���]n,G�Pme�YW��g#��n_We�9��-)+�HU�M��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4ȏ������)�wT�ߠ+\�P�]EDDDDDDD!V+�UDDDDDDD�`0ee�]EDDDDDDDQV+�UDDDDDDD�`0k�]E�ۘ����eYD�}O=DD�V��W�|DD��y� �.�&"�n}��ѣHɓ�����3fL�=��լ������qѭ?�m�Ƹ�^;�ο��[J�5���Rg�F��ֻ5��g�r6i�M �:w83"3 �L�a��~����=�f3t������}��ƣ��!4l��BWM��ɑ���Yt���5]��wwt���������E>ޟp��2s�BW� << /S /GoTo /D (Outline0.1) >> stream /FormType 1 Euh… concrètement ? 0000014920 00000 n /Subtype /Form 0000062497 00000 n 46 0 obj << 0000052874 00000 n /BBox [0 0 100 100] 25 0 obj /FormType 1 ]��h�1P�ϖQ��B�Fzse��+t��]l0�V�F�]�+t�t��@BGAW� 0000002962 00000 n qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx) et un entier naturel n, alors. Combinaison Binˆome de Newton Aim´e Lachal. 0000009208 00000 n ]��N���&e�������>���u����е�q0� /Filter /FlateDecode >> /Subtype /Form << stream �*=R�[�AO��е#��=��ѠBW� >> /BBox [0 0 100 100] 31 0 obj ]��Q�"����uϰAW� /Subtype /Form On y va décidément pas à pas. (Formule du bin\364me) 0000001828 00000 n /Resources 13 0 R >> (IT) Identités combinatoires (la difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable). 0000069112 00000 n /Length 15 ]�+t�� << /S /GoTo /D (Outline0.5) >> endobj 1) Calculer n 0 + n 1 +...+ n n . 59 0 obj /Resources 23 0 R Notamment, on démontre grâce à lui que la fameuse suite un = (1 + 1 / n)ⁿ ayant e pour limite  est croissante (voir par exemple « Mathématiques pour l’économie Â» (Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca), Dunod 2007 p 75). 0000065056 00000 n /Length 15 Nous avons (e2ix + e-2ix) qui est égal à 2 cos 2x et (e4ix + e-4ix) qui est égal à 2 cos 4x. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Type /XObject ]u�$h�f)S ]t��е#��sW� La formule est évidemment celle du binôme mais généralement on ne retient pas toutes les possibilités de 0 à n et, du coup, on ne développe pas (a + b)ⁿ. endobj 0000059164 00000 n 0000063352 00000 n >> 50 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 38 0 obj /Length 15 En simplifiant par 2, nous arrivons au bout de nos peines . << /S /GoTo /D (Outline0.3) >> endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000003305 00000 n >> /ProcSet [ /PDF ] On obtient : Il faut enjoliver cette espèce de magma inesthétique qui est multiplié par 4. 15 0 obj Théorème (formule du binôme de Newton) : Soit (a;b) 2R2 et n 2N. On a (a+b)n = Xn k=0 n k akbn k. Démonstration : 1. initialisation : Pour n = 0, on a : (a+b)0 = 1 et X0 k=0 0 k akbn k = 0 0 a0b0 0 = 1. endobj 0000065731 00000 n endstream /Resources 17 0 R {����aؠ+t��Z��Q���$� /Resources 29 0 R 5 réflexions sur “ Exercices sur le binôme de Newton ” Aline dit : 22 octobre 2015 à 21 h 24 min Comment te dire cela simplement… : Tu es tout simplement génial merci merci merci :)!!! (Factorielle) << /FormType 1 /FormType 1 >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [8.00009 8.00009 0.0 8.00009 8.00009 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> n Ck= n! Vous avez tous appris aucolì ege les fameuses "identités remarquables" (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ou (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , et il est essentiel de savoir ces formules par coeur, ´ etant donné la multitude de cas o` u on /Filter /FlateDecode /Subtype /Form /Subtype /Form endobj x���P(�� �� "n#$,(a+b)n= n Ck k=0 n %a kbn& Notations : ! endobj 0000027084 00000 n endobj << stream >> endstream >> 0000068271 00000 n endobj �iȂ�Z�vp{ x���P(�� �� Regroupons les puissances 4. stream (Application aux probabilit\351s) /ProcSet [ /PDF ] /Width 1831  Formule du binôme de Newton. endstream On a donc comme coefficient de ce terme : ˙ ˝ ˛ ˆ ˙ /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 23.12529 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> /ColorSpace /DeviceRGB Développons (a â€“ b)5, à titre d’exemple. >> << endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] << /Matrix [1 0 0 1 0 0] /BBox [0 0 100 100] /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Resources 11 0 R On a de façon générale : Le coefficient de est donc ˘ˇ ˆˆ On a de façon générale : ˙ Le terme s’obtient quand ˝. 2. hérédité : On suppose que pour un rang n 2N quelconque, la formule est vraie. On voit que l’on peut factoriser ceci par eixe-ix c’est-à-dire, ici encore, par 1. 0000059653 00000 n Si l’on met (½)⁴ en facteur, il nous reste à développer l’expression à la puissance 4 en utilisant la formule du binôme de Newton. /Matrix [1 0 0 1 0 0] Par commodité, rappelons ici un extrait de ce fameux triangle. 11 0 obj 14 0 obj /FormType 1 /Type /XObject << x���P(�� �� 2. 0000054167 00000 n << 0000079784 00000 n Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). /Subtype /Form 0000014743 00000 n /ProcSet [ /PDF ] 12 0 obj /Length 15 Enfin, nous constatons que b est négatif. �.�����@&! stream /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que ! stream /Length 15 endobj Répondre. 0000058142 00000 n �ҞU����RE��q���j��.��.ʂ��;�,�;,�}�L�.m�x��d��CIci=��K0%$��Rs�%��9N�f瀥s\r6j�Mvf�Y2+��p�݂A�F�X�Y�/�(����ͧ�n�����\F�6�ю���`ep���{����f�y��N�Gutq�{m����ӵ 竓,]������j�k��p�-�����ɽ)H���5=�~2�d�1J�sm�W>�4�a��4�+4 �hF�O;�h"�>tf�8>���.�M�Iükim��ۋz����4�-a���x���2���X��o>�N ����%��M?����n�U���ި8s�> H�\Q�j�0��+����lՉ]0��R0!mh��im�,d�࿯Vv�A�h���;�/���� �Zm��q��D�a� d��~�E�}c����. /Subtype /Form H�b```f``�f`g`�~� Ȁ �@1v�6 go���w�L6eR ��E6� ��2=?�Xy�U|:',l�3��jtޭ߬�X��Y/����X-�jʼ#�|,AJ*�L��W��Xt�i�B���d�v)��K�O�kI��+ntu�צ�b�^�P��*�o4���� /Resources 15 0 R 37 0 obj 0000072639 00000 n << 62 0 obj 0000073740 00000 n n=0 k! 0000079947 00000 n x���P(�� �� >> ]����:����BW]�+t�D�_����Bך�zq۾w���A�u���9l��BW=bڧ���n�c]�+t}�7��t����~�=עk���a�a��AW� endstream 60 0 obj /Length 15 endstream /Type /XObject /Type /XObject 0000061626 00000 n trailer << /Size 102 /Info 27 0 R /Root 29 0 R /Prev 119898 /ID[<55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289><55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289>] >> startxref 0 %%EOF 29 0 obj << /Type /Catalog /Pages 26 0 R >> endobj 100 0 obj << /S 387 /Filter /FlateDecode /Length 101 0 R >> stream 0000009007 00000 n DØnombrement, binôme de Newton 1. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 32 0 obj >> << (Combinaison) Nous voyons également que les coefficients multiplicateurs sont les nombres relevés sur la ligne n = 5 du triangle de Pascal, c’est-à-dire 1-5-10-10-5-1. /Resources 26 0 R /BBox [0 0 100 100] Mais maintenant que le binôme nous a montré ses bienfaits, nous pouvons réduire un peu l’expression…. !��_�szf6g���Ȓ��'˲�sP�Y��D���5 /ProcSet [ /PDF ] endobj >> 26 0 obj On le vérifie également sur ce triangle décidément magique. ]���o������6i�`g��)��9t�Yj誠��P�]m1屮��Gׅ ]��t��o�]k~ӰAW� endobj stream endobj /Filter /FlateDecode endobj endobj << D’abord, chaque membre de l’addition se situe à un degré de puissance 5. ]s����EW�]�+t�,��k�L8tU��B�.��r�@W� 49 0 obj Les basiques 1. Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même.L'un des buts du jeu est de développer l’identité remarquable (a + b)ⁿ.Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). ]�k�U /Length 15 66 0 obj >> 0000071387 00000 n /Filter /FlateDecode stream 10 0 obj 0000027387 00000 n /ProcSet [ /PDF ] �� ��3!��{x�pa���RA ��Hh������K��=�(a�M��d�A�Xi{%�f1��7S�AÃ�Oqh#���^�jc*��y�����'�@��x�����ȡI‡�,���`��CZN������]}���$"d?z�8&���bOl��&��L`����$�`��C�ż@�d��R*��b��=�\2����m���%��^@^� Un sch´ema de Bernoulli est une r´ep ´etition d’ ´epreuves de /Filter /FlateDecode /Resources 60 0 R x���P(�� �� Notamment, si l’on applique une règle algébrique très basique des exponentielles (et des puissances en général), on remarque que (eix)²(e-ix)² peut s’écrire e2ix Ã— e-2ix, soit e0, soit 1. → ! /BBox [0 0 16 16] >> endstream /Type /XObject stream /Length 15 0000059855 00000 n 0000062476 00000 n Combinaison Une ´epreuve de Bernoulli est une exp´erience al ´eatoire `a deux issues possibles (par exemple « succ`es » et « ´echec »). x���P(�� �� Nous trouvons donc le signe « moins Â» sur les puissances impaires de b. Intéressons-nous à présent à un cas particulier de a et de b. Si a = b = 1, la formule du binôme devient tout simplement… l’expression des puissances de 2 (puisque les coefficients ne multiplient que des 1). 0000014328 00000 n ]�kt ݶG�!tͿ��fؠ+t��ڄ�Nהy���c]�+t}���е�4BW�Zmޚ:X��]7t���U�0��i�2��U��+t��G�擩����BW�:] t���U�0���2��UAW� /Matrix [1 0 0 1 0 0] >> Soit n ∈ N et Pn (x)=(x+1) n −(x−1)n.Quel est le degrØ de P n, quel est son coefficient dominant? /FormType 1 /Filter /FlateDecode /BitsPerComponent 8 << 0000030021 00000 n << /S /GoTo /D (Outline0.4) >> /Subtype /Image 45 0 obj 0000009804 00000 n 0 Ckab0"k= 0 0a0b0=1 k=0 0 # … /BBox [0 0 100 100] endobj << 0000002418 00000 n ]ǣk�'�B7x� d�7��lF��ۧ�nM�R�]�+tU�U�2�bO����B׃vvBW� << /ProcSet [ /PDF ] �BW�����멭]��Tt�߶�5]��{��BW誠�>j�2��UAW� /Filter /FlateDecode endobj /Type /XObject << /S /GoTo /D [55 0 R /Fit] >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000029819 00000 n /Length 15 ]�kt=�Գ�-��t���Uw�&�2����aW� 41 0 obj /BBox [0 0 100 100] 34 0 obj La loi binomiale : avec un nom pareil, on se doute bien qu’il y a un petit air de famille… Voici un autre cas particulier des paramètres a et b. Il s’agit cette fois-ci de deux probabilités complémentaires (leur somme est égale à 1). 0000053286 00000 n 0000064206 00000 n >> 0000029615 00000 n /Length 744 /Type /XObject Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même. /ProcSet [ /PDF ] 0000008427 00000 n /Type /XObject 17 0 obj /Filter /FlateDecode endobj endobj endobj /BBox [0 0 100 100] /Filter /FlateDecode stream /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 20.00024 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> endobj /ProcSet [ /PDF ] k!(n"k)! /Height 413 ]�>��[M�G����E״m[��z��L��k���BW�;�@uV�W;KAW� %PDF-1.5 0000003708 00000 n 0000072309 00000 n << 61 0 obj %���� >> 0000053054 00000 n << << /S /GoTo /D (Outline0.2) >> EnoncØ des exercices 1.1. 2. /ProcSet [ /PDF ] 53 0 obj stream /Group 58 0 R Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices, etc.) /Resources 32 0 R 0000002440 00000 n 0000073874 00000 n << Certes, la ligne est un peu longue. 54 0 obj 42 0 obj g�����Rjh��0~����v�Guڿ����5�_(Rr�W�R3�}�i���AR*��y�P����9��̛�u�wל�mZ��F�� 0000036528 00000 n /Subtype /Form /Length 14899 0000049507 00000 n 0000065526 00000 n /Subtype /Form 29 0 obj … Posons S 1 =å E(n=2) k=0 /ProcSet [ /PDF ] >> stream >> >> << 57 0 obj Voir aussi la démonstration de la page additivité de la loi de Poisson. << 0000071183 00000 n ]�����S�`CW屮���D�S���6����ٶ��n6� 0000063373 00000 n << 0000059474 00000 n /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0 1] /Coords [4.00005 4.00005 0.0 4.00005 4.00005 4.00005] /Function << /FunctionType 2 /Domain [0 1] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> /Extend [true false] >> >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 22.50027 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> x���P(�� �� >> Par exemple, si l’on ne recense que les possibilités d’obtenir 3 succès sur 10 tirages et que la probabilité de succès est égale à 0,4, la formule n’est pas une somme puisque k est égal à 3 et le résultat ne sera qu’un « extrait Â» de la forme développée plus haut, soit 120 Ã— (0,4)³ Ã— (0,6)7. Énoncé. /Resources 62 0 R … /SMask 73 0 R /Filter /FlateDecode ]��1��;e��-t��е/��E� ]�뭩����B׻�Zd t���U_ЁVj�2��������;����w�]�� t��m����Zg t���UkЁ>j�2�6�����C�8����fڑ? /Filter /FlateDecode x���P(�� �� /Length 15 0000069268 00000 n ]K��Hk������a�#�+tu�p�df`^��IqW��lCW� Vous pouvez développer le produit, mais vous allez avoir beaucoup de mal. Formule du binôme de Newton - Correction Exercice 1 1) Quel est le coefficient de dans le développement de puis de ? 0000002647 00000 n 28 0 obj 0000054570 00000 n 0000061605 00000 n x���P(�� �� /Matrix [1 0 0 1 0 0] 0000053795 00000 n endstream ]��!h��)c]��BW���NB�[]�kt�޶��.6� /Filter /FlateDecode 0000035733 00000 n endobj 0000006398 00000 n Selon une formule d’Euler…. >> x��VYk1~�_���������R endobj Le binôme de Newton * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice no 1. endobj 0000009411 00000 n endobj Dans la mesure où le triangle de Pascal se construit par récurrence, le binôme ne peut être totalement insensible aux joies des suites…. /Matrix [1 0 0 1 0 0] 28 0 obj << /Linearized 1 /O 30 /H [ 1883 557 ] /L 120586 /E 80411 /N 4 /T 119908 >> endobj xref 28 74 0000000016 00000 n endobj /Subtype /Form >> /FormType 1 HR n (hypothèse de récurrence) ! 0000072618 00000 n Par ailleurs, factorisons par 4 dans les deuxième et quatrième termes. 63 0 obj (Applications trigonom\351triques) 0000003505 00000 n Le premier montre le a à pleine puissance tandis que b est absent, le deuxième ne multiplie a que 4 fois par lui-même alors que b fait son apparition et ainsi de suite jusqu’à élever b à la puissance 5. 0000068250 00000 n >> endstream Binˆome de Newton Aim´e Lachal. endobj /FormType 1 0000043643 00000 n stream << << endobj 23 0 obj /ProcSet [ /PDF ] Appliquons à nouveau la formule d’Euler. %PDF-1.2 %���� x���P(�� �� 0000073398 00000 n endobj Pour faire disparaître les puissances d’une expression trigonométrique, il faut utiliser les nombres complexes et plus précisément leur forme polaire. 0000073662 00000 n 0000037238 00000 n Heureusement, la formule du binôme de Newton permet d'obtenir facilement l'expression finale. ]�+��Wn}� �BW� �&j�2��UAW� ]t�A�T��*v����BW� Correction del’exercice1 N 1.D’après la formule du binôme de NEWTON, 8n 2N; å n k=0 =(1+1) =2 : 2.Soit n un entier naturel non nul.

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